Gün 3
Merhaba Zeynep! İleri fonksiyonlar dersimizin son günündeyiz. Bugün rasyonel fonksiyonları, yani polinomların oranlarını inceleyeceğiz. Bu fonksiyonlar, grafikleri ve tanım kümeleri açısından özel davranışlar gösterir. Özellikle asimptotlar (asymptotes) kavramı, bu fonksiyonların grafiğini anlamak için hayati öneme sahiptir.
Bölüm 1: Rasyonel Fonksiyonlar (Rational Functions)
Rasyonel fonksiyonlar, iki polinomun oranı olarak yazılabilen fonksiyonlardır:
f(x) = P(x) / Q(x)Burada P(x) ve Q(x) birer polinomdur ve en önemlisi, Q(x) ≠ 0 olmalıdır.
Tanım Kümesi (Domain):
Rasyonel fonksiyonların tanım kümesi, paydayı sıfır yapan tüm x değerleri hariç, tüm reel sayılardır.
Örnek: f(x) = 1 / (x-2)
Paydayı sıfır yapan değer x = 2 olduğundan tanım kümesi x ≠ 2.
Bölüm 2: Asimptotlar (Asymptotes)
Asimptotlar, bir fonksiyon grafiğinin yaklaştığı fakat kesmediği (çoğunlukla) çizgilerdir.
1. Dikey Asimptot (VA):
- Paydayı sıfır yapan (ve aynı anda payı sıfır yapmayan) x değerlerinde.
- Örnek:
f(x) = (x+1)/(x-3)için x=3 dikey asimptot.
2. Yatay Asimptot (HA):
- deg(P) < deg(Q): y = 0
- deg(P) = deg(Q): y = (baş katsayı P)/(baş katsayı Q)
- deg(P) > deg(Q): Yatay asimptot yok (eğik olabilir).
f(x) = (x+1)/(x-3)
x = 3 (dikey asimptot), y = 1 (yatay asimptot)
Bölüm 3: Tanım Kümesi Kısıtlamaları
Sık görülen kısıtlayıcı durumların özeti:
- Payda ≠ 0
- Çift dereceli kök içi ≥ 0
- Log içi > 0
Örnekler:
f(x)=√(x-3)→ x ≥ 3g(x)=log(x+5)→ x > -5
Tebrikler Zeynep!
İleri Fonksiyonlar modülünü tamamladın. Asimptotlar ve domain kısıtları artık sende.
1. f(x) = (2x - 1) / (x + 4) fonksiyonunun dikey asimptotu (Vertical Asymptote) nedir?
2. g(x) = (3x² + 5) / (x² - 2) fonksiyonunun yatay asimptotu (Horizontal Asymptote) nedir?
3. h(x) = √(5 - x) fonksiyonunun tanım kümesi nedir?
4. k(x) = log₂(x - 7) fonksiyonunun tanım kümesi nedir?