Zeynep'in SAT Macerası

Gün 2

Üslü ve Logaritmik Fonksiyonlar

Büyüme, Küçülme, Ters Fonksiyon İlişkisi ve Grafikler

Merhaba Zeynep! Dün fonksiyon dönüşümlerini ve simetrileri öğrendik. Bugün ise doğada ve finansda sıkça karşılaştığımız, özel bir büyüme ve küçülme modelini temsil eden üslü fonksiyonlar (exponential functions) ile onların tam tersi olan logaritmik fonksiyonları (logarithmic functions) detaylıca inceleyeceğiz.

Bölüm 1: Üslü Fonksiyonlar (Exponential Functions)

Üslü fonksiyonlar, değişkenin (x) üs olarak bulunduğu fonksiyonlardır. Genellikle f(x) = a • bˣ formunda yazılır.

a: Başlangıç değeri veya y-keseni (x=0 iken y=a).
b: Büyüme/küçülme faktörü (ortak çarpan). b > 0 ve b ≠ 1 olmak zorundadır.

Büyüme (Growth) ve Küçülme (Decay):

Eğer b > 1 ise fonksiyon üstel büyür. (Örn: y = 2ˣ)
Eğer 0 < b < 1 ise fonksiyon üstel küçülür. (Örn: y = (1/2)ˣ)

Grafik Özellikleri:

Daima y-eksenini (0, a) noktasında keserler.
x-eksenine asimptotiktirler (grafik x-eksenine yaklaşır ama asla değmez).
Tanım kümesi (Domain): (-∞, ∞).
Değer kümesi (Range): (0, ∞).

y = 2^x (b > 1 → üstel büyüme)

y = (1/2)^x (0 < b < 1 → üstel küçülme)

Bölüm 2: Logaritmik Fonksiyonlar (Logarithmic Functions)

Logaritmik fonksiyonlar, daha önce öğrendiğimiz üslü fonksiyonların tersidir.

Eğer f(x) = bˣ ise, f⁻¹(x) = log_b(x)'tir.
Bu yüzden grafikler üslü fonksiyonların y = x doğrusuna göre yansımalarıdır.

Grafik Özellikleri:

Daima x-eksenini (1, 0) noktasında keserler.
y-eksenine asimptotiktirler.
Tanım kümesi: (0, ∞).
Değer kümesi: (-∞, ∞).

y = 2^x (üstel büyüme)

y = log₂(x) (logaritmik)

y = x (yansıma doğrusu)

Bölüm 3: Uygulamalar (Applications)

Üslü ve logaritmik fonksiyonlar; finans, biyoloji, fizik ve veri bilimi gibi alanlarda büyüme/küçülme süreçlerini modellemek için kullanılır.

Büyüme/Küçülme Denklemleri:

A(t) = P(1 + r)^t (Üstel Büyüme: bileşik faiz, nüfus)
A(t) = P(1 - r)^t (Üstel Küçülme: radyoaktif bozunma, değer kaybı)
A(t) = Pe^rt (Sürekli büyüme/küçülme)

Terimler:

P: Başlangıç miktarı
r: Oran (ondalık)
t: Zaman
e: Euler sabiti (~2.718)

Örnek:

1000 dolar %4 yıllık bileşik faizle 5 yıl sonra:

A(5) = 1000(1.04)⁵ ≈ 1216.65

Bugün üstel ve logaritmik fonksiyonları, grafiklerini ve uygulamalarını gördük. Yarın rasyonel fonksiyonlar ve asimptotlara geçiyoruz!