Zeynep'in SAT Macerası

Gün 1

Fonksiyon Dönüşümleri ve Simetri

Grafiklerin Ötelenmesi, Esnetilmesi, Yansıması ve Fonksiyon Tipleri

Merhaba Zeynep! Temel fonksiyonları ve grafiklerini anladık. Şimdi, bu bilgiyi bir adım öteye taşıyoruz. Bugün, bir fonksiyonun grafiğinin nasıl farklı şekillere büründüğünü (dönüşümleri) ve bazı fonksiyonların sahip olduğu özel simetri özelliklerini inceleyeceğiz. Bu, sana hem cebirsel ifadeleri hem de görsel temsilleri yorumlama gücü katacak.

Bölüm 1: Grafik Dönüşümleri (Transformations of Functions)

Bir temel fonksiyonun f(x) grafiğini alıp üzerinde değişiklikler yaparak yeni fonksiyonların grafiklerini oluşturabiliriz. Bu dönüşümler fonksiyon denklemlerinde belirli yerlere eklenen sabitlerle gerçekleşir.

1. Dikey Öteleme (Vertical Translation): `y = f(x) + c`

Eğer c > 0 ise grafik c birim yukarı kayar.
Eğer c < 0 ise grafik |c| birim aşağı kayar.

2. Yatay Öteleme (Horizontal Translation): `y = f(x - c)`

Eğer c > 0 ise grafik c birim sağa kayar. (Dikkat: x-c ifadesi sağa kaydırır!)
Eğer c < 0 ise grafik |c| birim sola kayar. (Dikkat: x+c ifadesi sola kaydırır!)

3. Dikey Genleşme/Sıkışma (Vertical Stretch/Compression): `y = c • f(x)`

Eğer c > 1 ise grafik dikey olarak genleşir (daha dar görünür).
Eğer 0 < c < 1 ise grafik dikey olarak sıkışır (daha geniş görünür).

4. Yatay Genleşme/Sıkışma (Horizontal Stretch/Compression): `y = f(c • x)`

Eğer c > 1 ise grafik yatay olarak sıkışır (daha dar görünür).
Eğer 0 < c < 1 ise grafik yatay olarak genleşir (daha geniş görünür).

5. Yansıma (Reflection):

y = -f(x): Grafik x-eksenine göre yansır (yukarıdaki kısım aşağı, aşağıdaki kısım yukarı gelir).
y = f(-x): Grafik y-eksenine göre yansır (sağdaki kısım sola, soldaki kısım sağa gelir).

Zeynep'e SAT İpucu!

SAT'de sana bir fonksiyonun grafiğini verip, denklemini değiştirdiklerinde yeni grafiğin nasıl görüneceğini sorabilirler. Veya iki grafik verip, birinden diğerine nasıl geçilebileceğini sorabilirler. Bu kuralları ezberlemekten çok, mantığını kavramaya çalış! Örneğin f(x-2) demek, x yerine hangi değeri koyarsan koy, sonucun 2 birim gerideki x değerinin çıktısı olacağı anlamına gelir, bu da grafiği sağa kaydırır.

Bölüm 2: Fonksiyonlarda Simetri (Symmetry in Functions)

Bazı fonksiyon grafikleri belirli simetri özelliklerine sahiptir. Bunları tanımak, fonksiyonları daha iyi anlamana yardımcı olur.

1. Çift Fonksiyon (Even Function):

Tanım: f(-x) = f(x) (x yerine -x koyduğumuzda fonksiyon değişmez.)
Özellik: Grafik y-eksenine göre simetriktir. Sanki y-ekseni bir ayna gibidir.
Örnekler: f(x) = x², f(x) = |x|, f(x) = cos(x) (üsleri çift olan polinom terimleri)

2. Tek Fonksiyon (Odd Function):

Tanım: f(-x) = -f(x) (x yerine -x koyduğumuzda fonksiyonun işareti değişir.)
Özellik: Grafik orijine göre simetriktir. Bu, hem x-eksenine hem de y-eksenine iki kere yansımış gibi düşünebilirsin.
Örnekler: f(x) = x³, f(x) = 1/x, f(x) = sin(x) (üsleri tek olan polinom terimleri)

3. Ne Çift Ne Tek:

Çoğu fonksiyon ne çift ne de tektir. Örneğin f(x) = x² + x fonksiyonunu incele: f(-x) = (-x)² + (-x) = x² - x. Bu ne f(x)'e ne de -f(x)'e eşittir.

Bugün fonksiyon grafiklerinin nasıl hareket ettiğini ve simetri türlerini öğrendik. Bu dönüşümler ve simetriler, karmaşık fonksiyonları anlamak için temel taşlardır. Yarın, SAT'de sıkça karşına çıkacak olan Üslü ve Logaritmik Fonksiyonların dünyasına dalacağız!

1. Gün Alıştırmaları (SAT Tarzı)

Şimdi öğrendiklerimizi test edelim. Unutma Zeynep, yapamasan bile sorun değil, amaç öğrenmek!