Tüm Konulara DönFonksiyonlar Konusuna Dön

Gün 3

Fonksiyonlarla İşlemler: Toplama, Çıkarma ve Daha Fazlası!
Fonksiyonları Birbirine Bağlamak

Merhaba! İlk iki gün fonksiyonların ne olduğunu, nasıl ifade edildiğini ve grafiklerinin nasıl çizildiğini öğrendik. Şimdi biraz daha ileri gidiyoruz: İki veya daha fazla fonksiyonu tıpkı normal sayılar gibi toplayabilir, çıkarabilir, çarpabilir ve hatta birbirine geçirebiliriz!

Bu, SAT sınavında sıklıkla karşımıza çıkan ve aslında çok da zor olmayan bir konu. Hazır mısın?

Bölüm 1: Dört İşlem (Toplama, Çıkarma, Çarpma, Bölme)

İki fonksiyonu bir araya getirmek tıpkı normal cebirsel ifadelerle işlem yapmak gibidir. Diyelim ki iki fonksiyonumuz var:

  • f(x) = 2x + 1
  • g(x) = x - 3

1. Toplama: (f + g)(x)

İki fonksiyonu toplamak, sadece kurallarını toplamak demektir:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f + g)(x) = (2x + 1) + (x - 3)
(f + g)(x) = 3x - 2

Eğer senden (f + g)(2) değerini bulmanı isterlerse, ya önce f(2) ve g(2)'yi bulup toplarsın ya da yukarıdaki yeni fonksiyonuna 2'yi yerine yazarsın:

(f + g)(2) = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4

2. Çıkarma: (f - g)(x)

Çıkarma işlemi yaparken parantez kullanmaya dikkat etmelisin:

(f - g)(x) = f(x) - g(x)
(f - g)(x) = (2x + 1) - (x - 3) Dikkat: Eksiyi dağıt!
(f - g)(x) = 2x + 1 - x + 3
(f - g)(x) = x + 4

3. Çarpma: (f • g)(x) veya f(x)g(x)

Fonksiyonları çarparken de bildiğin dağılma özelliğini kullanacaksın:

(f • g)(x) = f(x) • g(x)
(f • g)(x) = (2x + 1)(x - 3)
(f • g)(x) = 2x(x) + 2x(-3) + 1(x) + 1(-3)
(f • g)(x) = 2x² - 5x - 3

4. Bölme: (f / g)(x)

Bölme işleminde de sadece birini diğerinin altına yazarsın. Burada en önemli nokta, paydanın sıfır olamayacağıdır. Yani g(x) ≠ 0 olmalı.

(f / g)(x) = f(x) / g(x)
(f / g)(x) = (2x + 1) / (x - 3)

Bölüm 2: Bileşke Fonksiyonlar (Fonksiyonların Fonksiyonu)

Bileşke fonksiyon, bir fonksiyonun çıktısını başka bir fonksiyonun girdisi olarak kullanmaktır. Tıpkı bir makineden çıkan ürünü alıp başka bir makineye atmak gibi.

Gösterimi şöyledir: (f o g)(x) veya f(g(x)). Her ikisi de aynı anlama gelir ve "f bileşke g" diye okunur.

Nasıl Hesaplanır?

f(g(x)) demek, önce g(x) fonksiyonunu hesapla, sonra bulduğun sonucu f(x) fonksiyonuna girdi olarak ver demektir.

  • Yine fonksiyonlarımız: f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x - 3

Örnek 1: f(g(x))'i Bulalım

  1. İçteki fonksiyonu (g(x)) al: g(x) = x - 3
  2. Bu ifadeyi dıştaki fonksiyonun (f(x)) 'x' gördüğün her yerine yaz:
    f(x) = 2x + 1
    Şimdi x yerine (x - 3) yazalım:
    f(g(x)) = 2(x - 3) + 1
    f(g(x)) = 2x - 6 + 1
    f(g(x)) = 2x - 5

Örnek 2: g(f(x))'i Bulalım (Sıra Önemli!)

Bu sefer tersi: önce f(x)'i hesapla, sonra sonucu g(x) fonksiyonuna ver.

  1. İçteki fonksiyonu (f(x)) al: f(x) = 2x + 1
  2. Bu ifadeyi dıştaki fonksiyonun (g(x)) 'x' gördüğün her yerine yaz:
    g(x) = x - 3
    Şimdi x yerine (2x + 1) yazalım:
    g(f(x)) = (2x + 1) - 3
    g(f(x)) = 2x - 2

Bölüm 3: Ters Fonksiyonlar (Makineyi Geri Çalıştırmak)

Bir fonksiyonu bir makine olarak düşünmüştük: bir girdi verirsin, bir çıktı alırsın. Peki ya çıktıyı biliyor ama girdinin ne olduğunu bulmak istiyorsak? İşte bu durumda ters fonksiyon devreye girer. Ters fonksiyon, bir fonksiyonun yaptığı işlemin tam tersini yapar.

Gösterimi: f⁻¹(x). "f'in tersi" diye okunur.

Ters Fonksiyon Nasıl Bulunur? (Basit Adımlar)

Diyelim ki f(x) = 2x + 5 fonksiyonunun tersini bulmak istiyoruz.

  1. f(x) yerine y yaz:
    y = 2x + 5
  2. x ve y'nin yerlerini değiştir: (Çünkü girdi ve çıktı rollerini değiştiriyoruz)
    x = 2y + 5
  3. Şimdi y'yi yalnız bırak: (Bu yeni y bizim ters fonksiyonumuz olacak)
    x - 5 = 2y
    y = (x - 5) / 2
  4. Son olarak, y yerine f⁻¹(x) yaz:
    f⁻¹(x) = (x - 5) / 2

Neden Ters Fonksiyon Önemli? (Kontrol Edelim)

Diyelim ki f(x) = 2x + 5 fonksiyonunda x=3 olsun:

f(3) = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11

Yani makineye 3 atınca 11 çıktı. Şimdi ters fonksiyonumuza 11 atarsak ne olacak?

f⁻¹(11) = (11 - 5) / 2 = 6 / 2 = 3

Gördün mü? Ters fonksiyon, çıktıyı alıp orijinal girdiye geri döndürdü! İşte bu yüzden "makineyi geri çalıştırmak" diyoruz.

Bugün fonksiyonlarla dört işlem yapmayı, onları birleştirmeyi (bileşke fonksiyonlar) ve hatta tersine çevirmeyi (ters fonksiyonlar) öğrendik. Bu konular SAT'de fonksiyon sorularının büyük bir kısmını oluşturur. Yarın daha özel fonksiyon türlerine göz atacağız!

3. Gün Alıştırmaları (SAT Tarzı)
Şimdi öğrendiklerimizi test edelim. Unutma Zeynep, yapamasan bile sorun değil, amaç öğrenmek!

1. Eğer f(x) = x + 4 ve g(x) = 3x - 1 ise, (f + g)(x) aşağıdakilerden hangisidir?

2. f(x) = 5x - 2 ve g(x) = x + 3 fonksiyonları için (f - g)(x) nedir?

3. h(x) = 2x ve k(x) = x + 6 ise, (h o k)(x) aşağıdakilerden hangisidir?

4. f(x) = x + 7 fonksiyonunun tersi f⁻¹(x) aşağıdakilerden hangisidir?

5. Eğer f(x) = 3x - 5 ise, f⁻¹(10) değeri kaçtır?